Question

4．如圖，△A₁B₁C₁中，A₁B₁=4，A₁C₁=5，B₁C₁=7．點A₂，B₂，C₂分別是邊B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中點；點A₃，B₃，C₃分別是邊B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂的中點；…；以此類推，則△A₄B₄C₄的周長是2，△A_nB_nC_n的周長是$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由三角形的中位線定理得：B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂分別等于A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，所以△A₂B₂C₂的周長等于△A₁B₁C₁的周長的一半，以此類推可求出結論．

解答 解：∵△A₁B₁C₁中，A₁B₁=4，A₁C₁=5，B₁C₁=7，
∴△A₁B₁C₁的周長是16，
∵A₂，B₂，C₂分別是邊B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中點，
∴B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂分別等于A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，
…，
以此類推，則△A₄B₄C₄的周長是$\frac{1}{{2}^{3}}$×16=2；
∴△A_nB_nC_n的周長是$\frac{{2}^{5}}{2n-1}$，
故答案為：2，$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．