Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于A、B兩點（AOAB）且AO、AB的長分別是一元二次方程x23x20的兩個根，點C在x軸負半軸上，且AB：AC=1:2.

（1）求A、C兩點的坐標；

（2）若點M從C點出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2) （3）存在，點Q的坐標為(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）.

【解析】

（1）根據方程求出AO、AB的長，再由AB：AC=1:2求出OC的長，即可得到答案；

（2）分點M在CB上時，點M在CB延長線上時，兩種情況討論S與t的函數關系式；

（3）分AQ=AB,BQ=BA,BQ=AQ三種情況討論可求點Q的坐標.

（1）x23x20，

（x-1）（x-2）=0，

∴x1=1，x2=2，

∴AO=1，AB=2，

∴A(1，0)， ，

∵AB：AC=1:2,

∴AC=2AB=4，

∴OC=AC-OA=4-1=3，

∴C(-3，0).

(2) ∵,

∴,

∵,

∴,

∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90，

由題意得：CM=t，BC=,

當點M在CB上時， ，

②當點M在CB延長線上時， （t＞）.

綜上，.

（3）存在，

①當AB是菱形的邊時，如圖所示，

在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，∴ Q1(-1，0)，

在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，∴Q2(1，2)，

在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，∴Q3(1，-2)；

②當AB為菱形的對角線時，如圖所示，

設菱形的邊長為x，則在Rt△AP4O中，

，

解得x=，

∴Q4（1，）.

綜上，平面內滿足條件的點Q的坐標為(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）.