Question

【題目】在平面直角坐標系中，規定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為，即

（1）在上面規定下，拋物線的頂點為 .伴隨直線為 ；拋物線與其伴隨直線的交點坐標為 和 ；

（2）如圖，頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點 (點在點 的右側)與 軸交于點

①若 求的值；

②如果點是直線上方拋物線的一個動點，的面積記為，當 取得最大值 時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）①m=﹣；②m=﹣2．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的頂點式可求得其頂點坐標，由伴隨直線的定義可求得伴隨直線的解析式，聯立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點坐標；

（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐標，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到關于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，過P作x軸的垂線交BC于點Q，則可用x表示出PQ的長，進一步表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可得到m的方程，可求得m的值．

試題解析：（1）∵y=（x+1）2﹣4，∴頂點坐標為（﹣1，﹣4），

由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得 ，解得 或 ，

∴其交點坐標為（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案為：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

（2）①∵拋物線解析式為y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴隨直線為y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得 或 ，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（拋物線開口向下，舍去）或m=﹣，

∴當∠CAB=90°時，m的值為﹣；

②設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），∴ ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣mx﹣m，

過P作x軸的垂線交BC于點Q，如圖，

∵點P的橫坐標為x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直線BC上方拋物線上的一個動點，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣ ]，

∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，

∴當x=時，△PBC的面積有最大值﹣m，

∴S取得最大值時，即﹣m=，解得m=﹣2．