Question

已知：直線y=-2x-2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過點A、C、E，且點E（6，7）
（1）求拋物線的解析式．
（2）在直線AE的下方的拋物線取一點M使得構成的△AME的面積最大，請求出M點的坐標及△AME的最大面積．
（3）若拋物線與x軸另一交點為B點，點P在x軸上，點D（1，-3），以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據直線y=-2x-2與x軸交于點A，與y軸交于點C，求出A，C兩點的坐標，再用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）在拋物線上取一點M，作MN∥y軸交AE于點N，過點E作EH⊥x軸于點H，則S_△AME=

1

2

•MN•AH，而AH=7，故當MN取最大值時，△AME的面積最大．設點M的橫坐標為a，則縱坐標為

1

2

a²-

3

2

a-2，先用待定系數法求出AE的解析式，得到N的坐標為（a，a+1），再用含a的代數式表示MN，然后根據二次函數的增減性求出MN的最大值；
（3）過點E作EF⊥x軸于點F，過點D作DM⊥x軸于點M．先證明△EAF與△BDM都是等腰直角三角形，得到∠EAB=∠MBD．當以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似時，①過點D作∠DP₁B=∠AEB交x軸于點P₁，得到△ABE∽BDP₁；②過點D作∠DP₂B=∠ABE交x軸于點P₂，得到△ABE∽△BP₂D，根據相似三角形對應邊成比例即可．

解答：解：（1）∵直線y=-2x-2與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴A（-1，0），C（0，-2）．
設過點A、C、E三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 c=-2 36a+6b+c=7

，
解得

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）在拋物線上取一點M，作MN∥y軸交AE于點N，過點E作EH⊥x軸于點H，則
S_△AME=S_△AMN+S_△MNE=

1

2

MN•AH．
設點M的橫坐標為a，則縱坐標為

1

2

a²-

3

2

a-2．
∵MN∥y軸，∴點N的橫坐標為a．
設直線AE的解析式y=kx+b，把A（-1，0）、E（6，7）代入，
得

-k+b=0  6k+b=7

，解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1．
∵N在直線AE上，∴N（a，a+1）．
∴MN=a+1-（

1

2

a²-

3

2

a-2）=a+1-

1

2

a2+

3

2

a+2=-

1

2

a2+

5

2

a+3，
∴當a=

- 5 2

2×(- 1 2 )

=

5

2

時，MN有最大值，此時MN=

4×(- 1 2 )×3-( 5 2 )2

4×(- 1 2 )

=

49

8

，
∴S_△AME=

1

2

MN•AH=

1

2

×

49

8

×7=

343

16

，M（

5

2

，-

21

8

）；

（3）過點E作EF⊥x軸于點F，過點D作DM⊥x軸于點M．
∵A（-1，0），B（4，0），E（6，7），
∴AO=1，BO=4，FO=6，FE=7，AB=5，
∴AF=FE=7，∠EAB=45°，AE=

AF2+EF2

=7

2

．
∵D（1，-3 ），
∴DM=3，OM=1，MB=3，
∴DM=MB=3，
∴∠MBD=45°，
∴∠EAB=∠MBD，BD=

MB2+MD2

=3

2

．
過點D作∠DP₁B=∠AEB交x軸于點P₁，則△ABE∽BDP₁，
∴AE：P₁B=AB：BD，即7

2

：P₁B=5：3

2

，
∴P₁B=

42

5

，P₁O=P₁B-OB=

42

5

-4=

22

5

，
∴P₁（-

22

5

，0）；
過點D作∠DP₂B=∠ABE交x軸于點P₂，則△ABE∽△BP₂D，
∴DB：AE=P₂B：AB，即3

2

：7

2

=P₂B：5，
∴P₂B=

15

7

，P₂O=OB-P₂B=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₂（

13

7

，0）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的最值、相似三角形的判定和性質，三角形的面積等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．