Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉，連接BE，CD，F為BE的中點，連接AF.

(1)如圖①，當∠BAE＝90°時，求證：CD＝2AF；

(2)當∠BAE≠90°時，(1)的結論是否成立？請結合圖②說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）當∠BAE≠90°時，（1）的結論仍成立，理由見解析.

【解析】

（1）因為AF是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過△ABE≌△ACD即可求得．

（2）延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得．

（1）如圖①．

∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°．

在△ABE與△ACD中，

∵，

∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE．

∵在Rt△ABE中，F為BE的中點，∴BE=2AF，∴CD=2AF．

（2）成立．理由如下：

如圖②，延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD．

∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°．

∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH．

在△ABH與△ACD中，∵，

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴BH=DC．

∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH．

∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．