Question

【題目】如圖在中，，，是的平分線，交于點，是的中點，連接并延長交的延長線于點，連接.

求證：（1）；

（2）為等腰三角形

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）依據AB=AC，∠BAC=36°，可得∠ABC=72°，再根據BD是∠ABC的平分線，即可得到∠ABD=36°，由∠BAD=∠ABD，可得AD=BD，依據E是AB的中點，即可得到FE⊥AB；

（2）依據FE⊥AB，AE=BE，可得FE垂直平分AB，進而得出∠BAF=∠ABF，依據∠ABD=∠BAD，即可得到∠FAD=∠FBD=36°，再根據∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°，可得∠CAF=∠AFC=36°，進而得到AC=CF．

證明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=72°，

又∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABD=36°，

∴∠BAD=∠ABD，

∴AD=BD，

又∵E是AB的中點，

∴DE⊥AB，即FE⊥AB；

（2）∵FE⊥AB，AE=BE，

∴FE垂直平分AB，

∴AF=BF，

∴∠BAF=∠ABF，

又∵∠ABD=∠BAD，

∴∠FAD=∠FBD=36°，

又∵∠ACB=72°，

∴∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°，

∴∠CAF=∠AFC=36°，

∴AC=CF，即△ACF為等腰三角形．