Question

【題目】⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過 的中點P作⊙O的直徑PG，與弦BC相交于點D，連接AG、CP、PB．
（1）如圖1，求證：AG=CP；

（2）如圖2，過點P作AB的垂線，垂足為點H，連接DH，求證：DH∥AG；

（3）如圖3，連接PA，延長HD分別與PA、PC相交于點K、F，已知FK=2，△ODH的面積為2 ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵過 的中點P作⊙O的直徑PG，

∴CP=PB，

∵AB，PG是相交的直徑，

∴AG=PB，

∴AG=CP

（2）證明：如圖 2，連接BG

∵AB、PG都是⊙O的直徑，

∴四邊形AGBP是矩形，

∴AG∥PB，AG=PB，

∵P是弧BC的中點，

∴PC=BC=AG，

∴弧AG=弧CP，

∴∠APG=∠CAP，

∴AC∥PG，

∴PG⊥BC，

∵PH⊥AB，

∴∠BOD=90°=∠POH，

在△BOD和△POH中，

，

∴△BOD≌△POH，

∴OD=OH，

∴∠ODH= （180°﹣∠BOP）=∠OPB，

∴DH∥PB∥AG

（3）解：如圖3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，

∴∠HON= ∠BOP= ∠COP=∠CAP，

∴△HON∽△CAM，

∴ ，

作PQ⊥AC于Q，

∴四邊形CDPQ是矩形，

△APH與△APQ關于AP對稱，

∴HQ⊥AP，

由（1）有：HK⊥AP，

∴點K在HQ上，

∴CK=PK，

∴PK是△CMP的中位線，

∴CM=2FK=4，MF=PF，

∵CM⊥AP，HK⊥AP，

∴CM∥HK，

∴∠BCM+∠CDH=180°，

∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，

∴∠MHK+∠CDH=180°，

∴四邊形CDHM是平行四邊形，

∴DH=CM=4，DN=HN=2，

∵S△ODH= DH×ON= ×4×ON=2 ，

∴ON= ，

∴OH= =5，

∴AC= =10

【解析】（1）利用等弧所對的圓周角相等即可求解；（2）利用等弧所對的圓周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判斷出△BOD≌△POH，再得到角相等，從而判斷出線平行；（3）由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM， ，再判斷出四邊形CDHM是平行四邊形，最后經過計算即可求解．