Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊的邊分別在軸，軸正半軸上，， 點從點出發以每秒2個單位長度的速度向終點運動，點不與點重合以為邊在上方作正方形，設正方形與的重疊部分圖形的面積為（平方單位），點的運動時間為（秒）．

（1）直線所在直線的解析式是__________________________．

（2）當點落在線段上時，求的值．

（3）在點運動的過程中，求與之間的函數關系式；

（4）設邊的中點為，點關于點的對稱點為，以為邊在上方作正方形當正方形與重疊部分圖形為三角形時，直接寫出的取值范圍．

（提示：根據點的運動，可在草紙上畫出正方形與重疊部分圖形為不同圖形時的臨界狀態去研究．）

Answer 1

【答案】(1)； (2) ；(3) ；(4) 正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，t的取值范圍為：和

【解析】

(1)根據OA=6，OC=8求出點A、C的坐標為(0，6)和(8，0)，用待定系數法可求得直線AC的解析式；
(2)點E在AC上時，四邊形OIPEF是正方形得EP∥AO，可證明△CPE∽△COA，由相似三角形的性質即可求出t的值；
(3)點P運動過程中正方形OPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同，分3種情況考慮；
(4)根據點P的運動，先找出正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形時的臨界點，再綜合求t的取值范圍．

(1)設直線AC的解析式為，
如圖1所示：

∵OA=6，OC=8，
∴點A、C的坐標分別為(0，6)，(8，0)，
將點A、C兩點的坐標代入直線AC的解析式中得

，

解得：，

∴直線AC的解析式為：；

(2)當點E落在線段AC上時，如圖2所示：

∵OC=8，P從點O出發以每秒2個單位長度的速度向點C運動，
∴，，，
∵EP∥AO，
∴△CPE∽△COA，

∴，即，

解得：；

(3)點P運動過程中正方形OPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同
分3種情況考慮，

①當時，如圖3(a)所示，
∵

∴；
②當時，如圖3(b)所示，

∵，
∴NP∥BC，FM∥AB，
∴△CNP∽△CAO∽△MAF，
∴，
∴，；
，
③當時，如圖3(c)所示，

∵PQ∥AO，
∴△CPQ∽△COA，
∴，
∴，
=+12t；
(4)根據點P的運動，畫出正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形時的臨界點，
①當P點開始向右移動時，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，達到圖4(a)所示情況不再為三角形，

根據題意：KC'=KN，
∵點K為線段OC的中點，KN∥AO，
∴KN為△AOC的中位線，
∴KC'=KN=AO=×6=3，
CC'=KC'+KC=3+4=7，
∴，
解得：，
即；
②當點P運動到圖4(b)所示情況時，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形開始為三角形．

∵，
∴，

∴，
∴CC'=，MC'=，
∴，
解得：；
③當點P運動到圖4(c)所示情況，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，點P再運動到點C時不再為三角形．

∵點K為線段OC的中點，KN∥AO，
∴KN為△AOC的中位線，
∴KC'=KN=AO＝3，CC'=KC-KC'，
∴PC=CC′=，
解得：，
綜合所述：正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，t的取值范圍為：和．