Question

如圖，已知反比例函數y=

k1

x

的圖象與一次函數y=k₂x+b的圖象交于A、B兩點，A（2，n），B（-1，-2）．
（1）求反比例函數和一次函數的關系式；
（2）在直線AB上是否存在一點P，使△APO∽△AOB？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵雙曲線y=

k1

x

過點（-1，-2）
∴k₁=-1×（-2）=2
∵雙曲線y=

2

x

過點（2，n）
∴n=1
由直線y=k₂x+b過點A，B得

2k2+b=1 -k2+b=-2

，
解得

k2=1 b=-1

∴反比例函數關系式為y=

2

x

，一次函數關系式為y=x-1．

（2）存在符合條件的點P，P(

7

6

，

1

6

)．
理由如下：∵A（2，1），B（-1，-2），
∴OA=

22+12

=

5

，AB=

(-1-2)2+(-2-1)2

=3

2

，
∵△APO∽△AOB
∴

AP

AO

=

AO

AB

，
∴AP=

AO2

AB

=

5

3 2

=

5 2

6

，
如圖，設直線AB與x軸、y軸分別相交于點C、D，過P點作PE⊥x軸于點E，連接OP，作AF⊥x軸，BG⊥x軸，DH⊥BG．
在直線y=x-1中，令x=0，解得：y=-1，則D的坐標是：（0，-1）；
在直線y=x-1中，令y=0，解得：x=1，則C的坐標是（1，0）；
則CF=OF-OC=2-1=1，AF=1，在直角△ACF中，AC=

AF2+CF2

=

2

，
OC=OD=1，則CD=

OC2+OD2

=

2

，
BH=BG-GH=2-1=1，DH=1，在直角△BDH中，BD=

BH2+DH2

=

2

，
則AC=CD=DB=

2

，
故PC=AC-AP=

2

-

5 2

6

=

2

6

，
在直線y=x-1中，令x=0，則y=-1，則D的坐標是（0，-1），OD=1，
令y=0，則x=1，則C的坐標是：（1，0），則OC=1，
則△OCD是等腰直角三角形．
∴∠OCD=45°，
∴∠ACE=∠OCD=45°．
再由∠ACE=45°得CE=PE=

2

6

×

2

2

=

1

6

，
從而OE=OC+CE=

7

6

，
點P的坐標為P（

7

6

，

1

6

)．