Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點O為對角線BD的中點，點P從點A出發，沿折線AD﹣DO﹣OC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．

（1）求點N落在BD上時t的值；

（2）直接寫出點O在正方形PQMN內部時t的取值范圍；

（3）當點P在折線AD﹣DO上運動時，求S與t之間的函數關系式；

（4）直接寫出直線DN平分△BCD面積時t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2＜t＜ ;（3）見解析; （4）t的值為 、 、 ．

【解析】

試題（1）根據條件證明△DPN∽△DQB然后利用對應邊成比例得出關于t的方程，解方程即可；（2）只需考慮求出兩個臨界位置①MN經過點O，②點P與點O重合下t的值即可；（3）①分0＜t，＜t≤6，6＜t≤11三種情況討論，根據圖形面積公式或和差關系即可用t表示出面積s；②因為點P在折線AD-DO運動，所以可分點P在AD上，點P在DO上，兩種情況討論．

試題解析：（1）當點N落在BD上時，

∵四邊形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN＝PQ＝t．

∴△DPN∽△DQB．∴．

∵PN＝PQ＝PA＝t，DP＝6﹣t，QB＝AB＝8，∴．∴t＝

∴當t＝時，點N落在BD上． （2分）

（2）當點O在正方形PQMN內部時，t的范圍是4＜t＜11（5分）

（3）①當0＜t時，如圖4．

S＝S正方形PQMN＝PQ2＝PA2＝t2．

當＜t≤6時，如圖5，

∵tan∠ADB＝＝，∴＝．∴PG＝8﹣t．

∴GN＝PN﹣PG＝t﹣（8﹣t）＝﹣8．

∵tan∠NFG＝tan∠ADB＝，∴．

∴NF＝GN＝（﹣8）＝t﹣6．

∴S＝S正方形PQMN﹣S△GNF＝t2﹣×（﹣8）×（t﹣6）

＝﹣t2＋14t﹣24．

當6＜t≤11時，如圖6，

∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．

∴∠PQM＝∠DAB＝90°．∴PQ∥AD．∴△BQP∽△BAD．

∴＝＝．∵BP＝16﹣t，BD＝10，BA＝8，AD＝6，

∴．∴BQ＝，PQ＝．

∴QM＝PQ＝．∴BM＝BQ﹣QM＝．

∵tan∠ABD＝，∴FM＝BM＝．

∴S＝S梯形PQMF＝（PQ＋FM）QM＝[＋]

＝（16﹣t）2＝t2－

綜上所述：當0＜t≤時，S＝t2．

當＜t≤6時，S＝﹣t2＋14t﹣24．

當6＜t≤11時，S＝t2－

②當直線DN平分△BCD面積時，t的值為、