Question

【題目】已知：如圖，ABCD中，∠BAD與∠ADC的角平分線交于BC邊的點F，∠ABC與∠BCD的角平分線交于AD邊的點H．

（1）求證：四邊形EFGH為矩形．

（2）若HF＝3，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質可得∠BAD+∠ADC＝180，∠ABC+∠BAD＝180，∠DAB+∠ABC＝180，由角平分線的性質可得∠AFD＝90，∠BHC＝90，∠AEB＝∠FEH＝90，可證四邊形EFGH為矩形；

（2）由矩形的性質可得EG＝HF＝3，通過證明EG是中位線，可得BC＝2EG＝6．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD+∠ADC＝180，∠ABC+∠BAD＝180，∠DAB+∠ABC＝180

∵∠BAD與∠ADC的角平分線交于BC邊的點F，

∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD，∠ADF＝∠ADC，

∴∠DAF+∠ADF＝90，

∴∠AFD＝90，

同理可證∠BHC＝90，∠AEB＝∠FEH＝90，

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）∵四邊形EFGH為矩形．

∴EG＝HF＝3，

∵∠BAF＝∠HAF，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90，

∴△AEB≌△AEH（ASA）

∴BE＝EH，

同理，HG＝GC，

所以EG是△BHC的中位線

∴BC＝2EG＝6．