Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊，點A的對應點為點G.

（1）填空：如圖1，當點G恰好在BC邊上時，四邊形ABGE的形狀是___________形；

（2）如圖2，當點G在矩形ABCD內部時，延長BG交DC邊于點F.

求證：BF=AB+DF；

若AD=AB，試探索線段DF與FC的數量關系.

Answer 1

【答案】正方形

【解析】

（1）如圖1，當點G恰好在BC邊上時，四邊形ABGE的形狀是正方形，理由為：由折疊得到兩對邊相等，三個角為直角，確定出四邊形ABEG為矩形，再由矩形對邊相等，等量代換得到四條邊相等，即鄰邊相等，即可得證；

（2）①如圖2，連接EF，由ABCD為矩形，得到兩組對邊相等，四個角為直角，再由E為AD中點，得到AE=DE，由折疊的性質得到BG=AB，EG=AE=ED，且∠EGB=∠A=90°，利用HL得到直角三角形EFG與直角△EDF全等，利用全等三角形對應邊相等得到DF=FG，由BF=BG+GF，等量代換即可得證；

②CF=DF，理由為：不妨假設AB=DC=a，DF=b，表示出AD=BC，由①得：BF=AB+DF，進而表示出BF，CF，在直角△BCF中，利用勾股定理列出關系式，整理得到a=2b，由CD-DF=FC，代換即可得證．

（1）正方形；

（2）①如圖2，連結EF，

在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，

∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°

∴∠EGF=∠D=90°，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∵EG=ED，EF=EF，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，

∴ DF=FG，

∴ BF=BG+GF=AB+DF；

②不妨假設AB=DC=，DF=，

∴AD=BC=，

由①得：BF=AB+DF

∴BF=，CF=，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：

∴，

∴，

∵，

∴，即：CD=DF，

∵CF=DF-DF，

∴3CF=DF.