Question

如圖，已知：AD是⊙O的直徑，AB、AC是弦，且AB=AC．
（1）求證：直徑AD平分∠BAC；
（2）若BC經過半徑OA的中點E，F是

CD

的中點，G是

FB

的中點，⊙O的半徑為1，求GF的長．

Answer 1

分析：（1）根據全等或等腰三角形的性質即可得出AO⊥BC，AO平分BC．
（2）求出∠AOC的度數，求出弧AC度數，分別求出弧CD、弧CF、弧DF、弧BF、弧GF的度數，求出∠GOF=90°，根據勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：連接OB，OC，
∵在△ABO和△ACO中，

AB=AC OA=OA OB=OC

∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴直徑AD平分∠BAC；

（2）解：連接OG、OF，OC，
∵BC過AO中點，
∴AE=OE=

1

2

OA=

1

2

OC，
∵AO⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠OCE=30°，
∴∠AOC=60°，
即弧AC度數是60°，
∵AD為直徑，
∴弧CD的度數是180°-60°=120°，
∵F為弧CD中點，
∴弧CF的度數和弧DF的度數都等于60°，
∵AO⊥BC，AO平分BC，
∴弧BD的度數=弧CD的度數，是120°，
∴弧BDF的度數是120°+60°=180°，
∵G為弧BDF的中點，
∴弧GF度數是90°，
∴∠GOF=90°，
∵OG=OF=1，
∴由勾股定理得：GF=

12+12

=

2

．

點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．