Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．

（1）求證：AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=，求線段OE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：本題考查了解直角三角形及菱形的判定與性質、平行四邊變形的判定與性質的知識，解題的關鍵是讀懂題意，選擇合適的邊角關系，難度不大．(1)、根據∠CAB=∠ACB利用等角對等邊得到AB=CB，從而判定平行四邊形ABCD是菱形，根據菱形的對角線互相垂直即可證得結論；(2)、分別在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，從而利用OE=AE﹣AO求解即可．

試題解析：（1）∵∠CAB=∠ACB， ∴AB=CB， ∴ABCD是菱形． ∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB==，AB=14， ∴AO=14×=，

在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14， ∴AE=AB=16， ∴OE=AE﹣AO=16﹣=．