Question

【題目】（本題滿分9分）如圖，以⊿ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且．

（1）試判斷⊿ABC的形狀，并說明理由；

（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求的值．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形；（2）

【解析】

試題分析：根據AB是直徑，則我們很容易知道，同時也是．進而就有

，而又，則DE=BE，進而，所以，而ABED可以看成是個圓內接四邊形，則，所以，即⊿ABC為等腰三角形．

第（2）問要求的是的正弦值，由圖知，在中，AB=10，要求正弦值，就必須求得AD的值，在中，我們可以利用等腰三角形一腰上的高求出AD=2．8，這樣我們就能求出．

試題解析：（1）∵AB為直徑，

∴∠ADC=∠BDE=90°，∠C+∠DBC=90°，∠CDE+∠EDB=90°，

又∵，

∴∠EDB=∠DBC，

∴∠C=∠CDE，

∴CE=DE，

∵，

∴DE=BE，CE=BE，

∴AE垂直平分BC，

∴AC=BC，

∴△ABC為等腰三角形．

∵A，B，E，D四點共圓，

∴∠CDE=∠CBA，∠C公用，

∴△CDE∽△CBA，

∴

∵BC=12，半徑為5，

由（1）得AC=BC=10，CE=6，

即

解得CD=7．2，

∴AD=AC-CD=2．8；

∴sin∠ABD==．