Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形, 點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F.

(1) 求證：DE－BF = EF．

(2) 當點G為BC邊中點時, 試探究線段EF與GF之間的數量關系， 并說明理由．

(3) 若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數量關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）通過三角形全等進而求證（2）DE－BF=AF－AE=EF

【解析】

試題考查知識點：正方形；三角形的全等與相似；等量代換

思路通過利用正方形的性質，證明三角形的全等與相似，然后利用等量代換。

具體解答過程：

（1）、∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAD=90°，AB=AD

∵DE⊥AG，BF⊥AG

∴∠AFB=∠DEA=90°

∵∠AFB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°

∴∠AFB=∠ADE

∴Rt△AFB≌Rt△DEA

∴DE=AF，AE=BF

∴DE－BF=AF-AE=EF

（2）、當點G為BC邊中點時，如下圖所示。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，AB:BG=2:1

∵∠AFB=∠ADE

∴Rt△AFB≌Rt△DEA∽Rt△ABG∽Rt△BFG

∴AE=BF，AF=DE=2AE，BF=2FG，AE=EF

∴EF=2FG

（3）、如下圖所示。

∵DE⊥AG，BF⊥AG

∴∠AFB=∠DEA=90°

∵∠BAD=90°，∠EAF是平角，

∴∠EAD+∠FAB=90°

∵∠EAD+∠EDA=90°

∴∠FAB=∠EDA

∴Rt△AFB≌Rt△DEA

∴AE=BF，DE=AF

∴EF=EA+AF即EF=DE+BF