Question

【題目】如圖，點C為線段BD上的點，分別以BC，CD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ECD，連接BE交AC于點M，連接AD交CE于點N，連接MN.試說明：（1）；（2）為等邊三角形.

Answer 1

【答案】（1）說明見解析；（2）說明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得出AC=BC．CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根據SAS證△BCE≌△ACD，推出∠1=∠2即可;(2) 由∠ACB=∠ECD=60°，根據平角的等于可求得∠ACE=60°，即可得∠ACB=∠ACE ，利用ASA判定△ACN≌△BCM，根據全等三角形的性質可得NC=MC，所以△MCN是等腰三角形，又因∠ACE=60°，根據有一個角是60°的等腰三角形為等邊三角形，即可判定△MCN是等邊三角形.

試題解析：

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60° ；

∵△ECD是等邊三角形，

∴EC=CD，∠ECD=60°，

∴∠ACB=∠ECD，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD +∠ACE，

即：∠BCE=∠DCA .

在△ACD和△BCE中,

AC=BC，∠DCA=∠DCE，EC=CD,

∴△ACD≌△BCE,

∴∠1=∠2.

（2）∵∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECD=180°-60°-60°=60°，

∴∠ACB=∠ACE .

在△ACN和△BCM中，

∠1=∠2，AC=BC,∠ACE=∠ACB，

∴△ACN≌△BCM（ASA），

∴NC=MC，

∴△MCN是等腰三角形，

又∵∠ACE=60°，

∴△MCN是等邊三角形.