Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點C、D在圓O上，且AD平分∠CAB．過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E，與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：EF與圓O相切；

（2）若AB=6，AD=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=．

【解析】

（1）連接OD，由OA=OD可得∠OAD=∠ODA，又AD平分∠BAC從而可得∠OAD=∠CAD，從而可得∠ODA=∠CAD，繼而可得OD∥AE，由EF垂直于AE，可得OD垂直于EF，從而可得EF與圓O相切；

（2）連接OD、CD、BD、BC，則CD=BD，由AB是直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，有勾股定理可得BD=，從而CD=2，由∠ACB=∠E可得BC∥EF，由∠OAD=∠CAD，∠ADB=∠E，可得△ADE∽△ABD，從而得，可得DE=．

在Rt△CDE中，由勾股定理可得CE=，從而可得DG=．OG=3-．

在Rt△OGB中，由勾股定理可得GB=，

又由∠ACB=∠E，可得BC∥EF從而可得△OGB∽△ODF，得，從而可得DF=．所以EF=DE+DF=

=．

解：（1）連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，

又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AE，

又∵EF垂直于AE，

∴OD垂直于EF，

∴EF與圓O相切；

（2）連接OD、CD、BD、BC，則CD=BD，

∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，

又∵AB=6，AD=4，∴BD=，

∴CD=2，∵∠ACB=∠E，

∴BC∥EF，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，

又∵∠ADB=∠E，∴△ADE∽△ABD，

∴，即，∴DE=．

在Rt△CDE中，

CE=

，∴DG=．OG=3-．

在Rt△OGB中，GB== =，

∵∠ACB=∠E，∴BC∥EF．

∴△OGB∽△ODF，

∴，

∴，∴DF=．

∴EF=DE+DF=+ =．