Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線BC與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點D，點B，C是反比列函數y＝（x＞0）圖象上的點，OB⊥BC于點B，∠BOD＝60°．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求反比例函數的解析式；

（3）若△AOB的面積為S1，△BOC的面積為S2，△DOC的面積為S3，直接寫出S1，S2，S3的一個數量關系式：　 　

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）y＝；（3）S1+S3＝S2．

【解析】

（1）解直角三角形求得OD，得出D的坐標，然后根據待定系數法即可求得；

（2）解直角三角形求得AB，利用勾股定理求得AD，進而求得S△AOB＝2，S△BOD＝6，然后根據三角形面積公式求得B的坐標，代入y＝（x＞0）求得k即可；

（3）解析式聯立求得C的坐標，進而求得S3＝2，即可求得S2＝4，從而求得S1+S3＝S2．

解：∵A（0，4），

∴OA＝4，

∵∠BOD＝60°．

∴∠AOB＝30°，

∵OB⊥BC于點B，

∴∠ABO＝90°，

∴∠OAD＝60°，

∴OD＝OA＝4，

∴D（4，0），

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4；

（2）∵∠AOB＝30°，OA＝4，

∴AB＝OA＝2，OB＝OA＝2，

∵OAOD＝ADOB，

∴AD＝＝＝8，

∴BD＝AD﹣AB＝6，

∵S△AOD＝＝8，

∴S△AOB＝×8＝2，S△BOD＝×8＝6，

設B（m，n），

∴S△AOB＝＝2，S△BOD＝＝6，

∴＝2，＝6，

解得m＝，n＝3，

∴B（，3），

∵點B是反比列函數y＝（x＞0）圖象上的點，

∴k＝＝3，

∴反比例函數的解析式為y＝；

（3）解得和，

∴C（3，1），

∴S△COD＝＝＝2，

∴S△BOC＝6﹣2＝4，

∵S1＝2，S2＝4，S3＝2，

∴S1+S3＝S2．

故答案為S1+S3＝S2．