Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線．

（2）解：如圖1，連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF=∠AOF=30°；

（3）解：如圖2，過點C作CG⊥BE于G，

∵CE=CB，

∴EG=BE=5，

∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，

∴∠GCE=∠A，

∴△ADE∽△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A=，

在R_tECG中，

∵CG==12，

∵CD=15，CE=13，

∴DE=2，

∵△ADE∽△CGE，

∴，

∴AD=，CG=，

∴⊙O的半徑OA=2AD=．