Question

已知：二次函數的圖象與一次函數y=4x-8的圖象有兩個公共點P（2，m）、Q（n，-8）．如果拋物線的對稱軸是x=-1，
（1）求二次函數的解析式；
（2）當x為何值時，y隨x增大而增大，當x為何值時，拋物線在x軸上方．

Answer 1

解：（1）由二次函數與一次函數圖象交于P（2，m），Q（n，-8），
將x=2，y=m代入一次函數y=4x-8中得：m=8-8，解得：m=0，
將x=n，y=-8代入一次函數y=4x-8中得：-8=4n-8，解得：n=0，
∴P（2，0），Q（0，-8），
設二次函數解析式為y=ax²+bx-8（a≠0），
由拋物線對稱軸為直線x=-1，得到-=-1，即b=2a①，
將P坐標代入拋物線解析式得：0=4a+2b-8②，
聯立①②解得：a=1，b=2，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-8；
（2）∵拋物線對稱軸為直線x=-1，且a=1＞0，
∴拋物線開口向上，且當x＞-1時，y隨x的增大而增大；
令拋物線解析式中y=0得：x²+2x-8=0，
解得：x₁=2，x₂=-4，
∴當x＜-4或x＞2時，拋物線在x軸上方．
分析：（1）由二次函數與一次函數的交點為P和Q，將P和Q的坐標分別代入一次函數解析式中，求出m與n的值，確定出P與Q的坐標，由Q坐標為（0，-8），設拋物線解析式為y=ax²+bx-8（a≠0），將P坐標代入得到關于a與b的方程，再由對稱軸公式，根據對稱軸為直線x=-1列出關于a與b的方程，聯立兩方程求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式中a大于0，得到拋物線開口向上，再由對稱軸為直線x=-1，得到x大于-1時，y隨x的增大而增大，令拋物線解析式中y=0，得到關于x的方程，求出方程的解得到x的值，可得出拋物線位于x軸上方時x的范圍．
點評：此題考查了待定系數法確定二次函數解析式，以及二次函數的圖象與性質，熟練運用待定系數法是解本題的關鍵．