Question

如圖1，點P是線段MN的中點．
（1）請你利用該圖1畫一對以點P為對稱中心的全等三角形；
（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
①如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，點D是BC邊中點，過D作射線交AB于E，交CA延長線于F，請猜想∠F等于多少度時，BE=CF（直接寫出結果，不必證明）；
②如圖3，在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他條件不變，若BE=CF的結論仍然成立，請寫出△AEF必須滿足的條件，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）以P點為中心，依次做兩條相互交叉但長度相等的線段，可得兩個全等三角形；
（2）當BE=CF時，∠F的結論成立；第2小題需要用到輔助線的幫助．延長FD到點G，使得FD=GD，連接BG，證明△DCF≌△DBG后推出∠F=∠G，CF=BG，從而證明BE=CF．
解答：解：（1）如圖：畫圖正確（2分）

（2）①∠F=45°時，BE=CF．（2分）
②答：若BE=CF的結論仍然成立，
則AE=AF，△AEF是等腰三角形．（1分）
證明：延長FD到點G，使得FD=GD，連接BG．
∵點D是BC邊中點，
∴DC=DB
在△DCF和△DBG中
∴△DCF≌△DBG．（2分）
∴∠F=∠G，CF=BG（1分）
當△AEF是等腰三角形，AE=AF時，
∠F=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G．
∴BE=BG．
∴BE=CF．（2分）
點評：本題涉及全等三角形，等腰梯形的相關性質和判定，并考查學生的作圖能力，為綜合題型，難度中上．