Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O， ⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC邊于點E．

(1) 求證：DE⊥AC；

(2) 連結OC交DE于點F，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據三角形的中位線定理可求出OD∥AC，根據切線的性質可證明DE⊥OD，進而得證．

（2）過O作OF⊥BD，根據等腰三角形的性質及三角函數的定義用OB表示出OF、CF的長，根據三角函數的定義求解．

試題解析：(1)連接OD . ∵DE是⊙O的切線，

∴DE⊥OD，即∠ODE=90° .

∵AB是⊙O的直徑，

∴O是AB的中點.

又∵D是BC的中點， .

∴OD∥AC .

∴∠DEC=∠ODE= 90° .

∴DE⊥AC .

(2)連接AD . ∵OD∥AC，

∴.

∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB= ∠ADC =90° .

又∵D為BC的中點，

∴AB=AC.

∵sin∠ABC= =， 故設AD= 3x , 則AB=AC=4x , OD= 2x .

∵DE⊥AC， ∴∠ADC= ∠AED= 90°.

∵∠DAC= ∠EAD， ∴△ADC∽△AED.

∴.

∴.

∴. ∴.

∴.