Question

【題目】如圖矩形ABCD中,AB=12,BC=8,E、F分別為AB、CD的中點,點P、Q從A. C同時出發,在邊AD、CB上以每秒1個單位向D、B運動,運動時間為t(0<t<8).

(1)如圖1，連接PE、EQ、QF、PF，求證：無論t在0<t<8內取任何值，四邊形PEQF總為平行四邊形；

(2)如圖2，連接PQ交CE于G，若PG=4QG，求t的值；

(3)在運動過程中，是否存在某時刻使得PQ⊥CE于G?若存在，請求出t的值：若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）由矩形的性質得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS證明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出結論；

（2）根據題意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，證出EH是梯形ABQP的中位線，由梯形中位線定理得出EH= （AP+BQ）=4，證出GH：GQ=3：2，由平行線得出△EGH∽△CGQ，得出對應邊成比例 ，即可得出t的值；

（3）由勾股定理求出CE= =10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，證出△GCQ∽△BCE，得出對應邊成比例求出CG=t，得出EG=10- t，由平行線證明△GME∽△GQC，得出對應邊成比例，求出t=0或t=8.5，即可得出結論．

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=12,AD=BC=8,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵E、F分別為AB、CD的中點，

∴AE=BE=6，DF=CF=6，

∴AE=BE=DF=CF，

∵點P、Q從A. C同時出發，在邊AD、CB上以每秒1個單位向D、B運動，

∴AP=CQ=t，

在△APE和△CQF中, ，

∴△APE≌△CQF(SAS),

∴PE=QF，

同理：PF=QE，

∴四邊形PEQF總為平行四邊形；

(2)根據題意得：AP=CQ=t，

∴PD=QB=8t，

作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如圖2所示：

則F為CD的中點，H為PQ的中點，EF=BC=8，

∴EH是梯形ABQP的中位線，

∴EH= (AP+BQ)=4，

∵PG=4QG，

∴GH:GQ=3:2，

∵EF∥BC，

∴△EGH∽△CGQ，

∴ = ,即4t=，

解得：t=，

∴若PG=4QG,t的為 值;

(3)不存在，理由如下：

∵∠B=90°，BE=6，BC=8，

∴CE= =10，

作EM∥BC交PQ于M，如圖3所示：

由(2)得：ME=4，

∵PQ⊥CE，

∴∠CGQ=90°=∠B，

∵∠GCQ=∠BCE，

∴△GCQ∽△BCE，

∴ ,即=，

∴CG=t，

∴EG=10t，

∵EM∥BC，

∴△GME∽△GQC，

∴ ,即 ，

解得：t=0或t=8.5，

∵0<t<8，

∴不存在。