Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）

【解析】試題分析：

(1)由題設可知△ABC，△ABD是等腰三角形，證明AD∥BC，再由基本圖形“平行線+等腰三角形→角平分線”求證.

(2)可條件可證∠BAC=90°，又因為BD平分∠ABC，故聯想過點O作OE⊥BC，得等腰直角△ECO，由角平分線的性質定理得OE=OA，即可求解.

試題解析：

(1)因為AB=AC，AB=AD，所以∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB.

因為∠DAC=∠ABC，所以∠DAC=∠ACB，

所以AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，

所以∠ABD=∠CBD，所以BD平分∠ABC.

(2)過點O作OE⊥BC于點E.

因為∠DAC=45°，所以∠ABC=∠ACB=45°，所以∠BAC=90°.

因為BD平分∠ABC，所以OA=OE.

在Rt△OCE中，OE=CE=OA=1，所以OC=.