Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．

(1) 求證：AD=AF；

(2) 當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形．并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當AB=AC時，四邊形ADCF是矩形，理由見解析

【解析】

(1) 由E是AD的中點，AF∥BC，易證得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得AD=BD=CD=BC，即可證得：AD=AF；

(2) 當AB=AC時，四邊形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=AC，根據三線合一的性質，可得AD⊥BC，AD=DC，繼而可得四邊形ADCF是正方形．

(1) 證明：∵AF∥BC，

∴∠EAF=∠EDB，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF=BD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，

∴AD=BD=DC=BC，

∴AD=AF．

(2) 當AB=AC時，四邊形ADCF是矩形．

∵AF=BD=DC，AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵AB=AC，AD是中線，

∴AD⊥BC，

∵AD=AF，

∴四邊形ADCF是正方形，是特殊的矩形.