Question

【題目】我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段 的最小覆蓋圓就是以線段 為直徑的圓．
（1）請分別作出圖①中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）三角形的最小覆蓋圓有何規律？請直接寫出你所得到的結論（不要求證明）；
（3）某城市有四個小區 （其位置如圖②所示），現擬建一個手機信號基站，為了使這四個小區居民的手機都能有信號，且使基站所需發射功率最小（距離越小，所需功率越小），此基站應建在何處？請寫出你的結論并說明研究思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）解：銳角三角形的最小覆蓋圓是其外接圓，鈍角三角形的最小覆蓋圓是以其最長邊為直徑的圓，直角三角形的最小覆蓋圓二者均可
（3）解：結論： 的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置．

研究思路：

a．手機信號基站應建在四邊形 的最小覆蓋圓的圓心處；所以先考慮四邊形 的外接圓，因為對角不互補，所以該四邊形沒有外接圓；

b．作四邊形對角線，將四邊形分割成兩個三角形，考慮其中一個三角形的最小覆蓋圓能否覆蓋另一個三角形，從而將四邊形最小覆蓋圓問題轉化為三角形最小覆蓋圓問題來研究；

c．若沿 分割，因為 ，所以這兩個三角形的最小覆蓋圓均不能完全覆蓋另一個三角形；

d．若沿 分割，因為 ，所以存在一個三角形的最小覆蓋圓能完全覆蓋另一個三角形的情況，又因為 ，所以 的最小覆蓋圓，即其外接圓能完全覆蓋 ，因此 的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置．

【解析】（1）按新定義規則作圖；（2）新定義圖形要結合學習過的知識，鈍角三角形的最小覆蓋圓就比其外接圓小;（3）要借鑒（2）的規律，先判斷這個四邊形不是圓內接四邊形，Δ H E F 的最小覆蓋圓，即其外接圓能完全覆蓋 Δ H G F，Δ H E F 的外接圓的圓心為手機信號基站所在位置.
【考點精析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心的相關知識點，需要掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題．