Question

【題目】已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD）

（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．

①求證：PG=PF；

②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論．

（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認為（1）中DE、DG、DP之間的數量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數量關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②DG+DF=DP；（2）不成立，數量關系式應為：DG﹣DF=DP．

【解析】（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得證；

②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據DG+DF=DG+GH=DH即可得；

（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．

解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，

∴∠GPH=∠FPD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠PDF=∠ADP=45°，

∴△HPD為等腰直角三角形，

∴∠DHP=∠PDF=45°，

在△HPG和△DPF中，

∵∠PHG=∠PDF，PH=PD，∠GPH=∠FPD，

∴△HPG≌△DPF（ASA），

∴PG=PF；

②結論：DG+DF=DP，

由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，

∴HD=DP，HG=DF，

∴HD=HG+DG=DF+DG，

∴DG+DF=DP；

（2）不成立，數量關系式應為：DG﹣DF=DP，

如圖，過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，

∵PF⊥PG，

∴∠GPF=∠HPD=90°，

∴∠GPH=∠FPD，

∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，

∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，

∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，

∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，

在△HPG和△DPF中，

∵∠GPH=∠FPD，∠GHP=∠FDP，PH=PD，

∴△HPG≌△DPF，

∴HG=DF，

∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，

∴DG﹣DF=DP．

“點睛”本題主要考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質的綜合運用，靈活運用全等三角形的判定與性質將待求證線段關系轉移至其他兩線段間關系是解題的關鍵．