Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三邊長分別為a，b，c，對于同一個銳角A的正弦，余弦存在關系式sin²A+cos²A=1試說明．
解：∵sinA=

 

，cosA=

 

．
∴sin²A+cos²A=

 

，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．
（1）在橫線上填上適當內容；
（2）若∠α為銳角，利用（1）的關系式解決下列問題．
①若sinα=

4

5

，求cosα的值；cosα=

3

5

②若sinα+cosα=1.1，求sinαcosα的值．sinαcosα=0.105．

Answer 1

分析：閱讀題意，找到關系式sin²A+cos²A=1，利用銳角三角函數的概念和勾股定理來進行求解．

解答：解：（1）∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

．
∴sin²A+cos²A=

a2

c2

+

b2

c2

=

a2+b2

c2

，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinα=

4

5

，sin²A+cos²A=1，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．

（3）∵sinα+cosα=1.1，sin²A+cos²A=1，
∴（sinα+cosα）²=1.21，
sin²A+cos²A+2sincosα=1.21，
1+2sincosα=1.21，
∴sincosα=（1.21-1）÷2=0.105．

點評：本題利用了銳角三角函數的概念和勾股定理對同角的三角函數的關系：sin²A+cos²A=1進行了證明和應用．