Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點P從點A出發，沿折線ABCD方向以3cm/s的速度勻速運動；點Q從點D出發，沿線段DC方向以2cm/s的速度勻速運動．已知兩點同時出發，當一個點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t（s）．
（1）求CD的長；
（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm2？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

過A作AM⊥DC于M，

∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，

∴AM∥BC，

∴四邊形AMCB是矩形，

∵AB=AD=10cm，BC=8cm，

∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，

在Rt△AMD中，由勾股定理得：DM=6cm，

CD=DM+CM=10cm+6cm=16cm

（2）解：如圖2，

當四邊形PBQD是平行四邊形時，PB=DQ，

即10﹣3t=2t，

解得t=2，

此時DQ=4，CQ=12，BQ= =4 ，

所以C□PBQD=2（BQ+DQ）= ；

即四邊形PBQD的周長是（8+8 ）cm

（3）解：當P在AB上時，如圖3，

即 ，

S△BPQ= BPBC=4（10﹣3t）=20，

解得 ；

當P在BC上時，如圖4，即 ，

S△BPQ= BPCQ= （3t﹣10）（16﹣2t）=20，、

此方程沒有實數解；

當P在CD上時：

若點P在點Q的右側，如圖5，即 ，

S△BPQ= PQBC=4（34﹣5t）=20，

解得 ，不合題意，應舍去；

若P在Q的左側，如圖6，即 ，

S△BPQ= PQBC=4（5t﹣34）=20，

解得 ；

綜上所述，當 秒或 秒時，△BPQ的面積為20cm2

【解析】（1）過A作AM⊥DC于M，得出平行四邊形AMCB，求出AM，根據勾股定理求出DM即可；（2）根據平行四邊形的對邊相等得出方程，求出即可；（3）分為三種情況，根據題意畫出符合條件的所有圖形，根據三角形的面積得出方程，求出符合范圍的數即可．