Question

如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．
（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；
（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

Answer 1

（1）證明：連接AC，如下圖所示，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，

∠1=∠3 AB=AC ∠ABC=∠4

，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；

（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發生變化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點，則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

BC•

AB2-BH2

=4

3

，
由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．
故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，
又S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則此時△CEF的面積就會最大．
∴S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF=4

3

-

1

2

×2

3

×

(2 3 )2-( 3 )2

=

3

．
答：最大值是

3

．