Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADC中，已知AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，則線段CD的長是____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

作CE⊥AB于點E，作AF⊥CD于點F，根據已知可以求出∠CAE=30°，從而得到∠DAC =75°，∠DCA=60°,設 BE=CE=a，在RT△CAE中求出BE的值,,由于CF=CE=BE，從而得到AF及DF,從而得到CD的長度.

解：作CE⊥AB于點E，作AF⊥CD于點F，
則∠CED=∠CEB=90°，∠AFD=∠AFC=90°，
∵在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=45°，∴∠CAE=30°，∴∠ECA=60°，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，且∠ACB=∠BAD，∠B=∠D，
∴∠D=45°，∠BAD=105°，
∴∠DAC=∠BAD-∠CAE=75°，
∴∠DCA=60°，∠CAF=30°
設BE=a，則CE=a，AE=8-a，
∵∠CAE=30°，∠CEA=90°，
∴=tan30°，
解得，a=4（-1），
∴AC=2a=8（-1），
∵∠AFC=90°，∠ACF=60°，
∴CF=4（-1），AF=12-4，
∵∠AFD=90°，∠D=45°，
∴DF=AF=12-4，
∴CD=DF+CF=12-4+4（-1）=8，
故答案為：8．