Question

【題目】某種產品形狀是長方形，長為8cm，它的展開圖如圖：

（1）求長方體的體積；

（2）請為廠家設計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能小）

Answer 1

【答案】（1）長方形的體積為144cm3；（2）紙箱的表面積為792cm2

【解析】

（1）設長方體的高為xcm，則長方形的寬為（12﹣2x）cm，根據長方體的展開圖可見產品的一個寬+2個長+一個高=25，從而列出方程，求解得出長方體產品的長寬高，再根據長方體的體積計算方法即可算出答案；

（2）由于產品的長寬高是固定的，廠家設計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少，故在裝這10件產品時，讓產品重疊在一起的面積盡可能的大，從而得出設計的包裝紙箱為15×12×8規格，再根據長方體的表面積計算方法即可算出答案.

（1）解：設長方體的高為xcm，則長方形的寬為（12﹣2x）cm，根據題意可得：

12﹣2x+8+x+8=25，

解得：x=3，

所以長方體的高為3cm，寬為6cm，長為8cm，

長方形的體積為：8×6×3=144cm3；

（2）解：由要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能小），可知紙箱的裝法有兩種，即每層一個共10層或每層兩個共5層，

①每層一個共10層：

（ⅰ）當3×6的面疊加在一起時，

表面積為2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2,

（ⅱ）當3×8的面疊加在一起時，

表面積為2（3×8+3×60+8×60）=1368cm2,

（ⅲ）當6×8的面疊加在一起時，

表面積為2（30×8+30×6+8×6）=936cm2,

②每層兩個共5層：

（ⅰ）當每一層的兩個長方體的3×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的3×8的面貼地面時，

表面積為2（3×16+3×30+16×30）=1236cm2,

（ⅱ）當每一層的兩個長方體的3×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的6×8的面貼地面時，

表面積為2（6×16+6×15+16×15）=852cm2,

（ⅲ）當每一層的兩個長方體的3×8的面疊加在一起時，且底層的長方體的3×6的面貼地面時，

表面積為2（3×12+3×40+12×40）=1272cm2,

（ⅳ）當每一層的兩個長方體的3×8的面疊加在一起時，且底層的長方體的8×6的面貼地面時，

表面積為2（12×8+8×15+12×15）=792cm2,

（ⅴ）當每一層的兩個長方體的8×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的8×3的面貼地面時，

表面積為2（6×8+6×30+8×30）=936cm2,

（ⅵ）當每一層的兩個長方體的8×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的6×3的面貼地面時，

表面積為2（6×6+6×40+6×40）=1032cm2,

所以當每一層的兩個長方體的3×8的面疊加在一起時，且底層的長方體的8×6的面貼地面時，表面積最小，為792cm2，設計的包裝紙箱為長為12cm，寬為8cm，高為15cm.

故答案為：792cm2