Question

如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AC=6，O是AB邊上的一動點，以O為圓心，OA為半徑畫圓．
（1）設OA=x，則x為多少時，⊙O與BC相切，
（2）當⊙O與直線BC相離或相交時，分別寫出x的取值范圍．
（3）當點O在何處時，△ABC為⊙O的內接三角形．

Answer 1

分析：（1）設切點為D，連接OD，則OD⊥BC，所以△OBD∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例即可求出OA長度；
（2）根據OD的長，小于OD相離，大于OD相交；
（3）因為∠C=90°，當AB是直徑即O在AB的中點時，△ABC為⊙O的內接三角形．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC=6，
∴AB=12（1分）
若⊙O與BC相切于點D，連接OD
則OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°
又∵∠B=∠B，
∴△OBD∽△ABC
∴

OD

AC

=

BO

BA

，（2分）
設⊙O的半徑為r，則

r

6

=

12-r

12

（3分）
∴r=4
∴當x=4時，⊙O與BC相切．（4分）

（2）當⊙O與直線BC相離時，0＜x＜4（5分）
當⊙O與直線BC相交時，4＜x≤12（6分）

（3）當點O在AB中點時，OA=OB=OC=6
△ABC為⊙O的內接三角形．（8分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，關鍵在于直線與圓心的距離和半徑的大小來判定．