Question

【題目】如圖，A、B、P是數軸上的三個點，P是AB的中點，A、B所對應的數值分別為-20和40．

（1）試求P點對應的數值；若點A、B對應的數值分別是a和b，試用a、b的代數式表示P點在數軸上所對應的數值；

（2）若A、B、P三點同時一起在數軸上做勻速直線運動，A、B兩點相向而行，P點在動點A和B之間做觸點折返運動（即P點在運動過程中觸碰到A、B任意一點就改變運動方向，向相反方向運動，速度不變，觸點時間忽略不計），直至A、B兩點相遇，停止運動．如果A、B、P運動的速度分別是1個單位長度/s，2個單位長度/s，3個單位長度/s，設運動時間為t．

①求整個運動過程中，P點所運動的路程．

②若P點用最短的時間首次碰到A點，且與B點未碰到，試寫出該過程中，P點經過t秒鐘后，在數軸上對應的數值（用含t的式子表示）；

③在②的條件下，是否存在時間t，使P點剛好在A、B兩點間距離的中點上，如果存在，請求出t值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10，(a+b)；（2）①60個單位長度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由見解析.

【解析】

(1)根據數軸上兩點間的距離公式結合A、B兩點表示的數，即可得出結論；

(2) ①點P運動的時間與A、B相遇所用時間相等，根據路程=速度×時間即可求得；

②由P點用最短的時間首次碰到A點，且與B點未碰到，可知開始時點P是和點A相向而行的；

③點P與點A的距離越來越小，而點P與點B的距離越來越大，不存在PA=PB的時候.

解：（1）∵A、B所對應的數值分別為-20和40，

∴AB=40-(-20)=60，

∵P是AB的中點，

∴AP=60=30，

∴點P表示的數是-20+30=10；

∵如圖，點A、B對應的數值分別是a和b，

∴AB=b-a，

∵P是AB的中點，

∴AP=(b-a)

∴點P表示的數是a+(b-a) =(a+b).

（2）①點A和點B相向而行，相遇的時間為=20（秒），此即整個過程中點P運動的時間．

所以，點P的運動路程為3×20=60（單位長度），故答案是60個單位長度．

②由P點用最短的時間首次碰到A點，且與B點未碰到，可知開始時點P是和點A相向而行的．所以這個過程中0≤t≤7.5．P點經過t秒鐘后，在數軸上對應的數值為10-3t．

故答案是：10-3t，0≤t≤7.5．

③不存在．

由②可知，點P是和點A相向而行的，整個過程中，點P與點A的距離越來越小，而點P與點B的距離越來越大，所以不存在相等的時候．

故答案為：（1）10，(a+b)；（2）①60個單位長度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由見解析.