Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）求證：△ABC≌△EAF；

（2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFDA是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）由△ABE是等邊三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下來依據AAS證明△ABC≌△EAF即可；

（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等邊三角形進而可證明AC=AD，然互再證明∠BAD=90°，可證明EF∥AD，故此可得到四邊形EFDA為平行四邊形．

試題解析：（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．

又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．

在△ABC和△EAF中，∵∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，AE=BE，∴△ABC≌△EAF．

（2）結論：四邊形EFDA是平行四邊形．

理由：∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC．∵△ACD是的等邊三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴AD=EF．又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴∠EFA=∠BAD=90°，∴EF∥AD．又∵EF=AD，∴四邊形EFDA是平行四邊形．