Question

【題目】如圖①，已知中，，，，點是邊上一點（不與重合），以為直徑作，過作切于，交于.

（1）若的半徑為2，求線段的長；

（2）若，求的半徑；

（3）如圖②，若，點關于的對稱點為點，試求、兩點之間的距離.

Answer 1

【答案】(1)；(2)的半徑為3；(3)、兩點之間的距離為.

【解析】

（1）根據切線的性質得出∠OEC=90°，然后根據勾股定理即可求得；

（2）由勾股定理求得BC，然后通過證得△OEC∽△BCA，得到=，即，解得即可；

（3）證得D和M重合，E和F重合后，通過證得△GBE∽△ABC，，即，解得即可．

(1)如圖，連結.

∵切于，

∴.

∵，半徑為2，

∴，.

∴；

(2)設半徑為.

在中，，，，

∴.

∵，

∴.

∴.

∵切于，

∴.

∴，

∴.

∴，

∴，

解得.

∴的半徑為3；

(3)連結、，設交于點，

由對稱性可知，.

又，

∴.

∴.

∵切于，

∴.

又，

∴.又，

∴.

∴.

∴點與點重合.

∴、、三點在同一條直線上.

連結、，

∵是直徑，

∴，即.

又，

∴.

∴，

∴、、三點在同一條直線上.

∴、兩點重合.

∵，，

∴.

∴，即.

∴.

故、兩點之間的距離為.