Question

10．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．
（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；
（2）若$PC=2\sqrt{5}$，求⊙O的半徑和線段PB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據切線的性質和垂直的定義得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；
（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據AB=AC推出5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，求出r，證△DPB∽△CPA，得出關于BP的比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）AB=AC，理由如下：
連接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，
設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，
則AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
∴5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直徑，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴$\frac{CP}{PD}=\frac{AP}{BP}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{3+3}=\frac{5-3}{BP}$，
∴BP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
答：圓的半徑是3，線段PB的長為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理，直線與圓的位置關系等知識點的應用，主要培養學生運用性質進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度．