Question

【題目】如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，點M從點D出發，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ．設運動時間為t秒．

（1）AM= ， AP= ． （用含t的代數式表示）
（2）當四邊形ANCP為平行四邊形時，求t的值
（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時刻t，
①使四邊形AQMK為為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由
②使四邊形AQMK為正方形，則AC等于．

Answer 1

【答案】
（1）8﹣2t；2+t
（2）

解：∵四邊形ANCP為平行四邊形時，CN=AP，

∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2

（3）

解：①存在時刻t=1，使四邊形AQMK為菱形．理由如下：

∵NP⊥AD，QP=PK，

∴當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，

∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，

②要使四邊形AQMK為正方形．

∵∠ADC=90°，

∴∠CAD=45°．

∴四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，

∵AD=8，

∴CD=8，

∴AC=8 ．

【解析】解：（1）如圖1．

∵DM=2t，
∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于點P，
∴四邊形CNPD為矩形，
∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，
∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；
故答案為：8﹣2t，2+t．
（1）由DM=2t，根據AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=6﹣t，則AP=AD﹣DP=2+t；（2）根據四邊形ANCP為平行四邊形時，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四邊形AQMK為正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．