Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓周上一點，∠ABC=30°，⊙O過點B的切線與CO的延長線交于點D．
求證：（1）∠CAB=∠BOD；
（2）△ABC≌△ODB．

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角及∠ABC=30°可知∠CAB=60°，然后由圓周角定理可知∠AOC=60°，再根據對頂角相等即可解答．
（2）根據直角三角形的性質求出AC=OB，再由ASA定理即可求出△ABC≌△ODB．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
又OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠CAB=∠BOD．

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=

1

2

AB，
又OB=

1

2

AB，
∴AC=OB，
由BD切⊙O于點B，得∠OBD=90°，
在△ABC和△ODB中，
∴△ABC≌△ODB．

點評：本題考查了圓的切線性質、直角三角形的性質、三角形全等的判定方法及圓周角定理的相關知識，有一定的綜合性，但難度不大．