Question

（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，AD⊥BC于D，將△ABC沿AD剪開，并分別以AB、AC為軸翻轉，點E、F分別是點D的對應點，得到△ABE和△ACF （與△ABC在同一平面內）．延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如果（1）中AB≠AC，其他不變，如圖2．那么四邊形AEGF是否是正方形？請說明理由；
（3）在（2）中，若BD=2，DC=3，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）要證明四邊形AEGF是正方形，則要證明AE=AF，∠EAF=∠EAD+∠DAF=90°，由題干條件即能證明；
（2）先作判斷，然后再作證明；
（3）設AD=x，則AE=EG=GF=x，列出關系式，解出x．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD
∴△ADB≌△ADC，
∴∠DAB=∠DAC=

1

2

∠BAC=22.5°，
∵點E與點D關于AB對稱，
∴△AEB≌△ADB，
∴AE=AD，∠AEB=∠ADB=90°，∠EAB=∠DAB，
∴∠EAD=2∠DAB=45°，
同理：AF=AD，∠AFC=90°，∠DAF=45°，
∴AE=AF，∠EAF=∠EAD+∠DAF=90°，
∴四邊形AEGF是正方形；（5分）

（2）解：四邊形AEGF是正方形（6分）
由（1）可知：∠EAB+∠FAC=∠BAC=45°
∴∠EAF=90°，
∵∠AEB=∠AFC=90°AE=AF，
∴四邊形AEGF是正方形；（8分）

（3）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x∴BG=x-2，CG=x-3，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²解得x₁=6，x₂=-1（舍）
∴AD=x=6（10分），

點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．