Question

（1）如圖1，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，連接AE、BF．求證：AE=BF；
（2）為響應市人民政府“形象勝于生命”的號召，在甲建筑物上從A點到E點掛一長為30m的宣傳條幅（如圖2），在乙建筑物的頂部D點測得頂端A點的仰角為45°，測得條幅底端E點的俯角為30°，求底部不能直接到達的兩建筑物之間的水平距離（答案可帶根號）．

Answer 1

分析：（1）首先根據∠AOB=90°，∠EOF=90°可以推出∠2=∠3．再根據△AOB是等腰三角形，△EOF是等腰三角形，可得AO=BO，EO=FO，進而可以利用SAS證明△AOE≌△BOF，根據全等三角形的性質可得AE=BF；
（2）設BC的距離為x，當E點與B點重合時的，可以求得BC的臨界距離，根據∠ADF和∠BDF可以求得AF與DF、BF與DF的關系，即可求得DF的值，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，∠EOF=90°，
∴∠AOB-∠1=∠EOF-∠1，
即∠2=∠3，
∵△AOB是等腰三角形，△EOF是等腰三角形，
∴AO=BO，EO=FO，
在△AOE和△BOF中

EO=FO ∠2=∠3 AO=BO

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵∠ADF=45°，
∴AF=DF•tan45°=DF，
∵∠EDF=30°，
∴EF=DF•tan30°=

3

3

DF，
∴AE=AF+EF=DF+

3

3

DF=30，
∴DF=（45-15

3

）米，
即BC=（45-15

3

）米．
答：底部不能直接到達的兩建筑物之間的水平距離BC長為（45-15

3

）米．

點評：本題考查了解直角三角形的應用中仰角與俯角問題，解答道題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題，解直角三角形即可求出．