Question

已知關于x的兩個一元二次方程：
方程：x2+(2k-1)x+k2-2k+

13

2

=0    ①
方程：x2-(k+2)x+2k+

9

4

=0      ②
（1）若方程①、②都有實數根，求k的最小整數值；
（2）若方程①和②中只有一個方程有實數根；則方程①，②中沒有實數根的方程是

①

（填方程的序號），并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若k為正整數，解出有實數根的方程的根．

Answer 1

分析：（1）根據判別式的意義得到△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+

13

2

）=4k-25≥0，則有k≥

25

4

；△₂=（k+2）²-4（2k+

9

4

）≥0，則k≥5或k≤-1，由于方程①、②都有實數根，于是有k≥

25

4

，則k的最小整數值為7；
（2）當k≥5或k≤-1時，方程②有實數根，此時不一定滿足k≥

25

4

，則若方程①和②中只有一個方程有實數根；則方程①和②中只有一個方程有實數根，只有方程②有實數根，方程①不一定實數根；
（3）由于方程②有實數根，方程①沒有實數根，則5≤k＜

25

4

，得到k=5或6，然后把它們分別代入方程，利用因式分解法或求根公式法解方程即可．

解答：解：（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+

13

2

）=4k-25≥0，
∴k≥

25

4

，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+

9

4

）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥

25

4

，
∴k的最小整數值為7；

（2）當方程①有實數根，k≥

25

4

，則方程②有實數根；
∵方程①和②中只有一個方程有實數根，
當方程②有實數根，方程①不一定實數根；
故答案為①；

（3）∵k為正整數，
且5≤k＜

25

4

，
∴k=5或6，
當k=5時，方程②變形為x²-7x+

49

4

=0，即（x-

7

2

）²=0，
∴x₁=x₂=

7

2

；
當k=6，方程②變形為x²-8x+

57

4

=0，
△=64-4×

57

4

=7，
∴x=

8± 7

2

∴x₁=

8+ 7

2

，x₂=

8- 7

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了解一元二次方程．