Question

已知關于x的兩個一元二次方程：
方程①：(1+

k

2

)x2+(k+2)x-1=0；   
方程②：x²+（2k+1）x-2k-3=0．
（1）若方程①有兩個相等的實數根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一個方程有實數根，請說明此時哪個方程沒有實數根，并化簡

1- 4k+12 (k+4)2

；
（3）若方程①和②有一個公共根a，求代數式（a²+4a-2）k+3a²+5a的值．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式的意義得到1+

k

2

≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+

k

2

）×（-1）=0，求出滿足條件的k的值，然后代入方程②，用公式法解方程即可；
（2）由于△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，則方程①沒有實數根，得到△₁＜0，即有（k+2）（k+4）＜0，然后條件此條件把二次根式化簡即可；
（3）設a 是方程①和②的公共根，則(1+

k

2

)a2+(k+2)a-1=0  ③，a²+（2k+1）a-2k-3=0④，通過變形得到ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
然后把它們代入所求的代數式即可得到結論．

解答：解：（1）∵方程①有兩個相等實數根，
∴1+

k

2

≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+

k

2

）×（-1）=0，則（k+2）（k+4）=0，解此方程得k₁=-2，k₂=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
當k=-4時，方程②變形為：x²-7x+5=0．
解得  x1=

7+ 29

2

，x2=

7- 29

2

•
（2）∵?△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，
因此無論k為何值時，方程②總有實數根，
∵方程①、②只有一個方程有實數根，
∴此時方程①沒有實數根，
∴△₁＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴

1- 4k+12 (k+4)2

=

(k+4)2-(4k+12) (k+4)2

=

(k+2)2 (k+4)2

=

( k+2 k+4 )2

=|

k+2

k+4

|=-

k+2

k+4

；
（ 3）設a 是方程①和②的公共根，
∴(1+

k

2

)a2+(k+2)a-1=0  ③，
a²+（2k+1）a-2k-3=0④，
由（③-④）×2得：ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，
由④得：a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
將⑤、⑥代入原式，得
∴原式=ka²+4ak-2k+3a²+5a
=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a
=5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了二次根式的性質與化簡以及有公共根兩個一元二次方程的解題方法．