Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．

∵點E、F分別是AB、CD的中點，

∴AE=AB，CF=CD．

∴AE=CF．

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∵AG∥BD，

∴四邊形AGBD是平行四邊形．

∵四邊形BEDF是菱形，

∴DE=BE．

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°．

∴∠2+∠3=90°．

即∠ADB=90°．

∴四邊形AGBD是矩形．

【解析】試題分析：本題主要考查了平行四邊形的基本性質和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．三角形全等的判定條件：SSS，SAS，AAS，ASA.

（1）在證明全等時常根據已知條件，分析還缺什么條件，然后用（SAS，ASA，SSS）來證明全等； （2）先由菱形的性質得出AE=BE=DE，再通過角之間的關系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四邊形AGBD是矩形.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．

∵點E、F分別是AB、CD的中點，

∴AE=AB，CF=CD．

∴AE=CF．

在△AED和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∵AG∥BD，

∴四邊形AGBD是平行四邊形．

∵四邊形BEDF是菱形，

∴DE=BE．

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°．

∴∠2+∠3=90°．

即∠ADB=90°．

∴四邊形AGBD是矩形．