Question

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為x＝1，且拋物線經過A（—1，0）、C（0，—3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）在拋物線的對稱軸x＝1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x＝1上的一動點，求使∠PCB＝90°的點P的坐標．

Answer 1

（1）設拋物線的解析式為y ＝ax²＋bx＋c，則有：
解得：，所以拋物線的解析式為y ＝x²－2x－3．
（2）令x²－2x－3＝0，解得x₁＝－１，x₂＝3,所以B點坐標為（3，0）．
設直線BC的解析式為y ＝kx＋b,
則，解得，所以直線解析式是y ＝x－3．
當x＝1時，y＝－2．所以M點的坐標為（1，－2）．
（3）方法一：要使∠PBC＝90°，則直線PC過點C，且與BC垂直，
又直線BC的解析式為y ＝x－3，
所以直線PC的解析式為y ＝－x－3，當x＝1時，y＝－4，
所以P點坐標為（1，－4）．
方法二：設P點坐標為（1，y），則PC²＝1²＋（－3－y）²,
BC²＝3²＋3²；PB²＝2²＋y²
由∠PBC＝90°可知△PBC是直角三角形，且PB為斜邊，則有PC²＋BC²＝PB²．
所以：[1²＋（－3－y）²]＋[3²＋3²]＝2²＋y²；解得y ＝－4，
所以P點坐標為（1，－4）．

解析