Question

【題目】如圖，A，B，C為⊙O上相鄰的三個n等分點， ，點E在 上，EF為⊙O的直徑，將⊙O沿EF折疊，使點A與A′重合，點B與B′重合，連接EB′，EC，EA′．設EB′=b，EC=c，EA′=p．現探究b，c，p三者的數量關系：發現當n=3時，p=b+c．請繼續探究b，c，p三者的數量關系：當n=4時，p=；當n=12時，p= ． （參考數據：sin15°=cos75°= ，cos15°=sin75°= ）

Answer 1

【答案】c+ b；c+ b
【解析】解：如解答圖所示，連接AB、AC、BC． 由題意，點A、B、C為圓上的n等分點，
∴AB=BC，∠ACB= × = （度）．
在等腰△ABC中，過頂點B作BN⊥AC于點N，
則AC=2CN=2BCcos∠ACB=2cos BC，
∴ =2cos ．
連接AE、BE，在AE上取一點D，使ED=EC，連接CD．
∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC與△CED為頂角相等的兩個等腰三角形，
∴△ABC∽△CED．
∴ ，∠ACB=∠DCE．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD與△BCE中，
∵ ，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
∴ ，
∴DA= EB=2cos EB．
∴EA=ED+DA=EC+2cos EB．
由折疊性質可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．
∴p=c+2cos b．
當n=4時，p=c+2cos45°b=c+ b；
當n=12時，p=c+2cos15°b=c+ b．
所以答案是：c+ b，c+ b．