Question

在圖中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞點O順時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．
（1）在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；
（2）連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△BGH≌△CGK，然后根據S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC即可求解；
（2）根據S_△GHK=S_{四邊形CHGK}-S_△CHK即可列出函數解析式；
（3）轉化為方程問題，利用根的判別式即可確定．
解答：解：（1）在上述旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變．
證明：連接CG
∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為斜邊AB中點，
∴CG=BG，CG⊥AB．
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角，
∴∠BGH=∠CGK．
∴△BGH≌△CGK．（3分）
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC==4．
即：S_{四邊形CHGK}的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化．（4分）

（2）∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四邊形CHGK}-S_△CHK，
得，
∴．
∵0°＜α＜90°，
∴0＜x＜4．（6分）

（3）不存在．
根據題意，得．
化簡，得 x²-4x+7=0．
∵△=16-4×1×7＜0，
∴此方程無實數根．
即不存在這樣的位置，使△GKH的面積等于△ABC面積的．（8分）
點評：本題主要考查了旋轉的性質，函數的解析式的求解，以及一元二次方程的根的判別式，難度較大．