Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x﹣2的圖象分別交x、y軸于點A、B，拋物線y＝x2+bx+c經過點A、B，點P為第四象限內拋物線上的一個動點．

（1）求此拋物線的函數解析式；

（2）過點P作PM∥y軸，分別交直線AB、x軸于點C、D，若以點P、B、C為頂點的三角形與以點A、C、D為頂點的三角形相似，求點P的坐標；

（3）當∠PBA＝2∠OAB時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）點P的坐標是（3，）．

【解析】

（1）本題所求二次函數的解析式含有兩個待定字母，一般需要兩個點的坐標建立方程組，現在可求A、B點坐標，代入列方程組可解答；

（2）根據∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在兩種情況：

①當∠CBP＝90°時，如圖1，過P作PN⊥y軸于N，證明△AOB∽△BNP，列比例式可得結論；②當∠CPB＝90°時，如圖2，則B和P是對稱點，可得P的縱坐標為﹣2，代入拋物線的解析式可得結論；

（3）設點A關于y軸的對稱點為A′，求出直線A′B的解析式，再聯立拋物線的解析式解答即可．

解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2=-2，則B（0，﹣2），

令y＝0，得x﹣2=0，解得x＝4，

則A（4，0），

把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，

得解得．

∴拋物線的解析式為：．

（2）∵PM∥y軸，

∴∠ADC＝90°．

∵∠ACD＝∠BCP，

∴以點P、B、C為頂點的三角形與以點A、C、D為頂點的三角形相似，存在兩種情況：

①當∠CBP＝90°時，如圖，過P作PN⊥y軸于N，

∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，

∴∠PBN＝∠OAB，

∵∠AOB＝∠BNP＝90°，

∴Rt△PBN∽Rt△BAO．

∴=.

設P(x,x2-x-2)．

∴=，化簡,得x2-x=0．

解得x＝0（舍去）或x=．

當x=時，y=x2-x-2=-5.．

∴p(，﹣5）；

②當∠CPB＝90°時，如圖2，則PB∥x軸，所以B和P是對稱點．

所以當y＝﹣2時，即x2-x-2=-2，解得x＝0（舍去）或x=．

∴P(，﹣2）．

綜上，點P的坐標是（，﹣5）或（，﹣2）．

（3）設點A關于y軸的對稱點為A′，則A′B＝AB．

∴∠BAO＝∠B′AO．

直線A′B交拋物線于P．

∴∠PBA＝∠BAO+∠BA′O＝2∠BAO．

∵A（4，0），

∴A′（﹣4，0）．

設直線A′B的解析式為y＝kx+b（k≠0）．

∵B（0，﹣2）．

∴

解得

∴直線A′B的解析式為y=x-2．

由方程組得x2﹣3x＝0．

解得x＝0（舍去）或x＝3．

當x＝3時，y=x-2=-．

所以點P的坐標是（3，）．