Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點E．設BP＝x，BE＝y，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接DE，根據折疊的性質可得∠CPD＝∠C′PD，再根據角平分線的定義可得∠BPE＝∠C′PE，然后證明∠DPE＝90°，從而得到△DPE是直角三角形，再分別表示出AE、CP的長度，然后利用勾股定理進行列式整理即可得到y與x的函數關系式，根據函數所對應的圖象即可得解．

如圖，連接DE，

∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，

∴∠CPD＝∠C′PD，

∵PE平分∠BPC′，

∴∠BPE＝∠C′PE，

∴∠EPC′+∠DPC′＝×180°＝90°，

∴△DPE是直角三角形，

∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，

∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，

在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，

在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，

在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，

則（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，

整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，

所以y＝﹣x2+x（0＜x＜5），

縱觀各選項，只有D選項符合．

故選D．